Metode transfer matrix untuk mirror structure
Berikut adalah penjelasan mengenai program yang saya gunakan dalam paper saya: Significant enhancement of light absorption in undoped graphene using dielectric multilayer system , S. A. Nulli, M. S. Ukhtary, R. Saito, Appl. Phys. Lett. 112, 073101 (2018). Ringkasan mengenai paper ini ada pada halaman berikut: Cerita Riset. Kode program dapat ditemukan pada repositori Github: https://github.com/ukhtary30/transfer-matrix.git
Penjelasan bagian - bagian kode
Bagian utama dari program ini adalah bagian perhitungan probabilitas serapan cahaya dan besar medan listrik menggunakan metode transfer matrix, yang merupakan perkalian antara matriks matching dan propagasi. Penjelasan mengenai kedua matriks tersebut dapat dibaca di rangkuman paper ini pada halaman Cerita Riset
Matriks matching antara medium ni+1 and ni diberikan oleh kode di bawah ini,
def M(x,y): #x is n_i+1, y is n_i
A = 1 + x / y
B = 1 - x / y
return 0.5 * np.array([[A,B],[B,A]])
yang memberikan matriks matching Mi,
Bila graphene diletakan di antara kedua media, maka matriks matching menjadi,
def MG(x,y,z): #x is n_i+1, y is n_i, z is the conductivity
k = 2 * np.pi * y / (lmbd)
A = 1 + x / y + k * z / (omega * eps0 * y * y)
B = 1 - x / y + k * z / (omega * eps0 * y * y)
C = 1 - x / y - k * z / (omega * eps0 * y * y)
D = 1 + x / y - k * z / (omega * eps0 * y * y)
return 0.5 * np.array([[A,B],[C,D]])
yang memberikan,
di mana suku tambahan di setiap komponen matriks berisi konduktivitas graphene.
Matriks propagasi di dalam medium ni diberikan oleh kode di bawah ini,
def P(x,d): # x is the n_i, d is the thickness
k = 2 * np.pi * x / (lmbd)
A = 1j * k * d
return np.array([[np.exp(-A),0],[0,np.exp(A)]])
yang memberikan matriks propagasi di dalam medium ni,
Di paper ini, ketebalan tiap medium (di) adalah seperempat panjang gelombang dalam medium
Transfer matriks dari mirror structure dengan jumlah repetisi s di berikan oleh kode di bawah ini,
def TF(x,s): # x is the alpha and s is the repetition
na = x * nb
d1 = lmbd / (4 * na)
d2 = lmbd / (4 * nb)
J1 = M(na,1) @ P(na,d1) @ M(nb,na) @ P(nb,d2)
J2 = M(na,nb) @ P(na,d1) @ M(nb,na) @ P(nb,d2)
J3 = P(nb,d2) @ M(na,nb) @ P(na,d1) @ M(nb,na)
J4 = P(nb,d2) @ M(na,nb) @ P(na,d1) @ M(1,na)
JT = J1 @ matrix_power(J2,s-1) @ MG(nb,nb,sig) @ matrix_power(J3,s-1) @ J4
return JT
Matriks J1 berkaitan dengan penjalaran cahaya ketika memasuki struktur dari udara ke medium A dan B (udara –> AB). Sebaliknya, matriks J4 berkaitan dengan penjalaran cahaya meninggalkan struktur dari medium BA ke udara (BA –> udara). Perlu diperhatikan bahwa kode @ memberikan perkalian matriks.
Matriks matrix_power(J2,s-1) berkaitan dengan penjalaran cahaya melalui medium AB yang berulang sebelum mencapai graphene yang berada di tengah struktur. Sebaliknya matriks matrix_power(J3,s-1) berkaitan dengan penjalaran cahaya melalui medium BA yang berulang sesudah melewati graphene. Kode matrix_power(J2,s-1) memberikan bentuk pangkat dari matriks J2 dengan orde s-1.
Output program
Input dari program ini adalah jumlah repetisi s dan juga nilai indeks bias medium B. Output dari program ini adalah besarnya probabilitas serapan cahaya dan besar medan listrik pada graphene sebagai fungsi rasio antara indeks bias medium A dan B (α) untuk beberapa s.
Kode di bawah ini memberikan input dari indeks bias medium B,
nb = 1.5 # the refractive index of B medium
Kode di bawah ini memberikan input dari jumlah repetisi s yang akan digunakan dalam perhitungan.
##########################################
# The input for the number of repetitions that will be calculated.
s1 = 2
s2 = 3
s3 = 5
##########################################
Output dari program ini divisualisasikan dalam bentuk grafik dengan kode di bawah ini.
nd = 100 # number of data
AB1 = np.zeros(nd+1) # the data for absorption in percent for s1
EE1 = np.zeros(nd+1) # the data for electric field for s1
AB2 = np.zeros(nd+1) # the data for absorption in percent for s2
EE2 = np.zeros(nd+1) # the data for electric field for s2
AB3 = np.zeros(nd+1) # the data for absorption in percent for s3
EE3 = np.zeros(nd+1) # the data for electric field for s3
AA = np.zeros(nd+1) # the data for alpha
for i in range (nd+1):
AA[i] = (6 - 1 ) * i/nd + 1
AB1[i] = ap(AA[i],s1) * 100
EE1[i] = ec(AA[i],s1)
AB2[i] = ap(AA[i],s2) * 100
EE2[i] = ec(AA[i],s2)
AB3[i] = ap(AA[i],s3) * 100
EE3[i] = ec(AA[i],s3)
# absorption as a function of alpha
plt.plot( AA, AB1, 'k',label='s = 2')
plt.plot( AA, AB2, 'r',label='s = 3')
plt.plot( AA, AB3, 'g',label='s = 5')
plt.tick_params( labelsize = 18 )
plt.ylabel('Absorption [%]',size = 18)
plt.xlabel('α',size = 18)
plt.xlim([1,6])
plt.ylim([0,50])
plt.legend()
plt.show()
# electric field as a function of alpha
plt.plot( AA, EE1, 'k',label='s = 2' )
plt.plot( AA, EE2, 'r',label='s = 3')
plt.plot( AA, EE3, 'g',label='s = 5')
plt.tick_params( labelsize = 18 )
plt.ylabel('|E/$E_0$| ',size = 18)
plt.xlabel('α',size = 18)
plt.xlim([1,6])
plt.ylim([0,5])
plt.legend()
plt.show()
Berikut adalah grafik serapan cahaya dan besar medan listrik pada graphene sebagai fungsi α untuk beberapa repetisi s (Grafik 3a dan b di paper)
Penurunan formula analitis dari serapan cahaya dan medan listrik diberikan di supplemental material paper. Formula analitis dari α yang memberikan serapan maksimum dapat diperoleh dengan melakukan turunan dari formula analitis serapan cahata. Turunan dapat diperoleh menggunakan kode SymPy sebagai berikut,
#################################################
# The derivation of the analytical results is given in the supplemental material of the paper. Here we will plot the value of alpha that gives the maximum absorption as a function of s
# Let us use sympy
import sympy
sympy.init_session()
s, al, Z0, sigm = symbols("s alpha Z0 sigma")
A = 4 * al**(2*s)* Z0 * sigm / (2 + al**(2*s) *Z0 * sigm)**2 # the analytical formula for Absorption
B = diff(A,al) # derivative of A
amax = solve(B,al)[0] # the analytical solution of alpha that gives maximum absorption
Formula analitis dari alpha diberikan oleh kode amax di atas, yang memberikan,
Grafik dari alpha sebagai fungsi s diberikan oleh kode di bawah ini,
##### Ploting the amax
f=lambdify(s,amax.subs([(Z0,377),(sigm,sig)]))
xx = np.linspace(2,12,100)
yy = f(xx)
plt.plot( xx,yy)
plt.tick_params( labelsize = 18 )
plt.ylabel('$α_{max}$',size = 18)
plt.xlabel('s',size = 18)
plt.xlim([2,12])
plt.ylim([1,3.5])
plt.show()
dengan output (Grafik 3c di paper),
